¿Hay infinitos mayores que otros?
Los animales pueden comunicarse entre ellos. Tienen algún sistema para intercambiar información. Como ejemplo, podemos pensar en el lenguaje de los delfines o en la famosa gorila Koko. También pueden razonar de alguna manera y tomar decisiones (como ejemplo, esto es lo que pudiera deducirse de éste vídeo donde un delfín razona que puede ser ayudado por humanos). La diferencia definitiva entre humanos y el resto de seres vivos podría estar en el razonamiento abstracto y particularmente en el concepto de infinito.
El infinito no es un número. Es un concepto abstracto que nos señala que la cantidad de elementos de un conjunto es mayor que cualquier número que podamos especificar. Lo representamos por el símbolo ∞. En Matemáticas manejamos asiduamente el concepto del infinito. Pero, ¿existe el infinito fuera de la mente humana? A Einstein le atribuyen (parece que falsamente) la frase siguiente: «Hay dos cosas infinitas: el Universo y la estupidez humana. Y de lo primero, no estoy seguro».
El Universo está en continua expansión. Y lo hace desde su origen, en un punto inicial que lo contenía al completo y que comenzó a expandirse en el Big Bang. La edad del Universo se cifra en unos 13.700 millones de años. Como de la Teoría de la Relatividad de Einstein se deduce que la velocidad de la luz es la máxima posible en el vacío, la longitud máxima del Universo es de 13.700 millones de años luz. ¿Qué hay fuera del Universo? ¿Hay otros universos? Existen modelos que hablan, en efecto, de la existencia de otros universos, de modo que deberíamos hablar de Multiverso. Pero, como consecuencia, debería deducirse que, al menos, nuestro Universo no es infinito.
Sin embargo, como se ha dicho, en Matemáticas manejamos el infinito habitualmente. Y encontramos propiedades nada intuitivas en él. Si infinito es una cantidad ilimitada, todo conjunto infinito parece que debería tener el mismo número de elementos. Pues bien, en este texto vamos a profundizar un poco en esta idea para intentar responder a la pregunta que nos hacíamos. Y una de las formas de hacerlo es comparando el número de elementos de los principales conjuntos numéricos.
En otro artículo hablamos de los conjuntos numéricos: N, Z, Q, I, R. Todos ellos tienen infinitos números. Vamos a compararlos entre sí, es decir, si en unos hay mayor cantidad de elementos que en otros (parece evidente que sí, pero veámoslo más despacio, que puede que nos llevemos alguna sorpresa).
Z es numerable
Recordemos que los números Naturales son todos los enteros positivos y sin decimales (lo que incluye al cero, que es el único número positivo y negativo a la vez: un número x es positivo si x ≥ 0, es positivo estrictamente si x > 0, es negativo si x ≤ 0, y es estrictamente negativo si x < 0). Así:
N = {0, 1, 2, 3, 4, …, 8, 9, 10, 11, 12, …}
Hay infinitos números naturales: por muy grande que sea el número natural que imaginemos, sumándole 1 obtenemos un número, también natural, y mayor. Pero recordar que ∞ no es un número, ni natural ni de ningún otro tipo, como ya hemos comentado.
El conjunto de los números Enteros comprende a todos los números sin decimales, positivos o negativos. Por tanto:
Z = { … −11, −10, −9, −8, …, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …, 9, 10, 11, …}
También tiene infinitos números, pero intuitivamente vemos que hay más enteros que naturales. Por ejemplo, −2 es entero, pero no natural. En realidad, hay casi el doble de enteros que de naturales, porque todos los enteros negativos no son números naturales. En cambio, todos los números naturales son enteros (N está incluido en Z). Sin embargo, vamos a ver que en ambos conjuntos hay exactamente el mismo número de elementos.
Dos conjuntos tales que cada elemento del primero de ellos se puede emparejar con uno, y sólo un elemento del segundo, y al revés, de forma que no sobre ningún elemento sin emparejar en ninguno de los dos conjuntos, tienen el mismo número de elementos. Pues bien, esto ocurre entre N y Z. Basta emparejarlos así (reordenando Z):
N: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …
Z: 0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, −5, 5, −6, …
De esta forma hay un primer entero, un segundo, etc. O sea, tantos enteros como naturales, y tantos naturales como enteros. Por tanto, la cantidad infinita de enteros es la misma que la cantidad infinita de números naturales, y esto a pesar de que hay infinitos enteros que no son naturales (esto es lo que choca con nuestra intuición, con lo que nos parecería esperar).
Cuando en un conjunto hay exactamente el mismo número de elementos que en N (en el sentido de que pueden emparejarse de forma biunívoca) se dice que tiene un número infinito numerable de elementos. Por consiguiente, Z es numerable.
Veamos ahora qué sucede con Q (los números racionales).
Q es numerable
Si bien Z nos ha podido sorprender de alguna manera, el caso de Q es más llamativo aún. Q es el conjunto de los números Racionales. Se llama así porque son todos los números que pueden expresarse en forma de fracción (razón, división). Y una fracción es una pareja ordenada de números enteros, siendo el primero de ellos el numerador y el segundo, el denominador. El significado de una fracción a/b es que cada unidad se divide en b partes iguales y se toman a trozos de ese tamaño. Por tanto, b ≠ 0, porque no puede dividirse la unidad en 0 trozos (no podemos dividir entre 0 y, en consecuencia, 0 no puede ser denominador de una fracción). Hay infinitas fracciones que son iguales entre sí y, por tanto, son el mismo número racional, porque expresan la misma cantidad. Por ejemplo, 1/2 = 2/4 = 3/6 = … Todas esas fracciones son la misma cantidad, el mismo número racional (0.5, si queremos).
Todos los números Naturales son Enteros, como ya vimos. Y todos los Enteros son Racionales, porque se pueden escribir como fracción con denominador 1. Esto implica que 0 también es racional, pues se puede escribir como 0/1 (que resulta 0: 0 caramelos repartidos entre 1 niño resulta a 0 caramelos por niño).
Pero hay muchísimos más números racionales que enteros: Q es denso en R, lo que significa que entre cualquier pareja de números Reales (que son todos los números que pueden resultar de una medida), por cercanos que estén, podemos encontrar infinitos números racionales. Esto nos da una idea de la enorme cantidad de números Racionales que existen. Si bien probar esto no es del todo inmediato, podemos conformarnos con demostrar que entre dos números Racionales cualesquiera existen infinitos números Racionales. Y esto es fácil: si sumamos dicha pareja de números Racionales (o sea, una pareja de fracciones), obtendremos otro número Racional (otra fracción). Al dividir dicha fracción entre 2, resulta, tras simplificar, una nueva fracción, es decir, un nuevo número Racional. Pero al sumar dos números y dividir el resultado entre 2 lo que se obtiene es la media aritmética de ambos, que está justo en la mitad de dichos números. Es decir, hemos encontrado un número racional entre los dos números de partida. Si repetimos el proceso con el más pequeño de ellos y la media aritmética que acabamos de calcular, obtendremos otro número racional, justo en la mitad entre ambos. Y este proceso puede repetirse indefinidamente, por lo que encontramos infinitos números Racionales entre los dos números Racionales inicialmente elegidos.
Esta propiedad no se da ni en N ni en Z: entre 2 y 3, por ejemplo, no hay ningún número ni natural ni entero. En cambio, hay infinitos números racionales entre ellos. Pues bien, a pesar de la enorme diferencia, hay exactamente la misma cantidad de números racionales que de números naturales. Es decir, el infinito que corresponde a la cantidad de números racionales es equiparable al infinito correspondiente a la cantidad de números naturales. O sea, que la cantidad de números racionales es un infinito numerable.
Vamos a demostrar que Q es numerable. Para ello, tomamos un sistema de ejes cartesianos. En el eje OX vamos a representar el numerador (tenemos que limitarnos a los valores enteros del eje, porque tanto el numerador como el denominador de una fracción son números enteros; de lo contrario, no tendríamos una fracción, sino una división de números reales). En el eje OY representaremos el denominador, restringiéndonos, igualmente, a las unidades enteras. Así, cada cruce de un valor entero del eje OX con otro del eje OY representa una fracción: el punto (a, b) sería la fracción a/b. Ningún cruce sobre el eje OX sería fracción, porque tendrían denominador 0. En el gráfico siguiente hemos señalado, como ejemplo, 1/2 y −3/(−2). De esta manera, todos los puntos señalados del gráfico representan todas las fracciones posibles.
Lo que hacemos es ordenarlas. Y para ello, basta recorrerlas de la manera señalada por las flechas rojas del gráfico. De este modo, asociamos el número natural 0 con la fracción representada por el origen de coordenadas, el 1 con la fracción 0/(−1), el 2 con la fracción 1/(-1), el 3 con la fracción 1/1, el 4 con 0/1, el 5 con −1/1, etc:
Por tanto, hay exactamente la misma cantidad de fracciones que de números naturales. Como muchas fracciones representan al mismo número racional (1/2 = 2/4 = 3/6 = …) hay muchos números naturales asociados al mismo número natural. Luego la cantidad de números naturales es mayor o igual que la de racionales. Pero como, por otro lado, sabemos que la cantidad de números racionales es mayor o igual que la naturales, porque hay números racionales que no son naturales (por ejemplo, 1/2). Luego la cantidad de números racionales es igual a la de números naturales. Es decir, la cantidad de números racionales es un infinito numerable, como queríamos demostrar.
Bromas sobre el infinito
Circulan algunas bromas acerca del infinito. Por ejemplo el Teorema de existencia del Punto Gordo. Uno de los postulados de Euclides dice que «por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela«. Esto lo contradice el Teorema del Punto Gordo: Si el punto es suficientemente gordo, se pueden trazar muchas paralelas por él.
Pero ¿existen los puntos gordos? Pues si, según afirma el Teorema de existencia del Punto Gordo. Consideremos dos cuadrados de distinto tamaño:
Como ambos encierran la misma cantidad de puntos (infinitos, y del mismo orden), cabe concluir que los puntos del segundo cuadrado son más gordos que los del primero. Evidentemente, es una broma.